यदि $\vec{a}, \vec{b}$ और $\vec{c}$ इकाई सदिश इस प्रकार हैं कि $\vec{a} + 2\vec{b} + 2\vec{c} = \vec{0}$,तो $|\vec{a} \times \vec{c}|$ का मान ज्ञात कीजिए।

यदि $\vec{a}$ और $\vec{b}$ इकाई सदिश हैं,तो $\sqrt{3}\vec{a} - \vec{b}$ के इकाई सदिश होने के लिए $\vec{a}$ और $\vec{b}$ के बीच का कोण क्या है ($^{\circ}$ में)?

मान लीजिए $PQR$ एक त्रिभुज है। बिंदु $A, B$ और $C$ क्रमशः भुजाओं $QR, RP$ और $PQ$ पर इस प्रकार स्थित हैं कि $\frac{QA}{AR} = \frac{RB}{BP} = \frac{PC}{CQ} = \frac{1}{2}$ है। तब $\frac{\operatorname{Area}(\triangle PQR)}{\operatorname{Area}(\triangle ABC)}$ का मान $........$ है।

एक समांतर चतुर्भुज $ABCD$ की दो आसन्न भुजाएँ $\overrightarrow{AB} = 2\hat{i} + 10\hat{j} + 11\hat{k}$ और $\overrightarrow{AD} = -\hat{i} + 2\hat{j} + 2\hat{k}$ द्वारा दी गई हैं। भुजा $AD$ को समांतर चतुर्भुज के तल में एक न्यून कोण $\alpha$ द्वारा घुमाया जाता है ताकि $AD$,$AD'$ बन जाए। यदि $AD'$,भुजा $AB$ के साथ समकोण बनाता है,तो कोण $\alpha$ का कोसाइन (cosine) क्या होगा?

मान लीजिए $|\vec{a}|=2, |\vec{b}|=3$ और $\vec{a}$ तथा $\vec{b}$ के बीच का कोण $\frac{\pi}{3}$ है। यदि $2\vec{a}+3\vec{b}$ और $\vec{a}-\vec{b}$ आसन्न भुजाओं वाला एक समांतर चतुर्भुज बनाया जाता है,तो इसके छोटे विकर्ण की लंबाई क्या है?

यदि $a$ और $b$ इकाई सदिश हैं और $a+b$ भी एक इकाई सदिश है,तो $a$ और $b$ के बीच का कोण . . . . . . है। ($^{\circ}$ में)